Energía en un cuerpo animado de una rotación

Energía cinética

Si se tiene presente que un cuerpo está constituido por partículas y que en cada una la energía cinética es el semiproducto de su masa por el cuadrado de la correspondiente velocidad, la energía cinética del cuerpo es la suma de todas ellas. (Sumatoria de la energía cinética de tosa las partículas).

Como

Resulta

Pero  es igual para todos los puntos; por lo tanto se puede sacar factor común

Obteniéndose:

Momento de inercia

El momento de inercia de un cuerpo es la suma de todos los productos de la masa por el cuadrado de la distancia al eje; o sea, el momento de inercia es, respecto a un eje

De donde la energía cinética se puede expresar:

Radio de giro

Considérese un cuerpo de masa m. cuyo momento de inercia con respecto a un eje e es I.

Pero si toda la masa del cuerpo está concentrada en un punto A, esta masa puntual tendrá un momento de inercia con respecto al eje e que dependerá de la distancia existente entre el punto y el eje.

Determinando adecuadamente esta distancia, se puede conseguir que el momento de inercia de la masa puntual sea igual al momento de inercia que realmente posee el cuerpo. La distancia necesaria para que esto ocurra se denomina radio de giro.

Radio de giro de un cuerpo con respecto a un eje es la distancia a la que habría que colocarse toda la masa del cuerpo, supuesta concentrada en un punto, para que tuviese el mismo momento de inercia que realmente posee el cuerpo. Se representa por R.

Para determinar el radio de giro, se considera que la masa m del cuerpo al estar concentrada a una distancia R el eje, tendría un momento de inercia:

Este valor es igual al momento de inercia I que realmente posee el cuerpo, se puede expresar:

De donde, despejando R, resulta:

Ecuación fundamental de las rotaciones

En las traslaciones se estableció como ecuación fundamental:

En la rotación del cilindro del torno, para la fuerza  trasmitida por la cuerda se cumple:

Como

Por lo tanto

Donde (momento de   respecto de o). Remplazando

Por otra parte la energía cinética adquirida por el cilindro es:

Como la medida de la energía cinética esta dada por el trabajo que realiza la fuerza necesaria para detener el movimiento (-). El trabajo realizado por  es igual a la energía cinética. Por lo tanto:

Simplificando: